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Números

#números #númerosenteros #ejerciciosdematemática #ejercicios #ejerciciosenclase #matemática Números enteros Hace unos 3500 años atrás...

miércoles, 31 de agosto de 2016

Circuncentro



Observando el applet y arrastrando los puntos A, B y C, presta atención en la posición del circuncentro de cada triángulo. ¿Qué observas?

Paralelepípedo

Paralelepípedo

paralelepipedoparalelepipedo

Se trata de prismas cuyas bases son dos paralelogramos. Si tienen todas las caras rectangulares se llaman Ortoedros.

Prisma

Prisma


prismas

Es el poliedro limitado por dos caras iguales, estas están contenidas en planos paralelos, ambas se llaman bases. Además las caras laterales son paralelogramos, que tienen un par de lados opuestos en común con los lados paralelos de las bases.

Los prismas pueden ser regulares o irregulares, esto dependerá de si sus bases son o no polígonos regulares.
prisma obicuo prisma recto

También se pueden clasificar en Prismas Rectos u Oblicuos. Para esta clasificación se debe tener en cuenta si las aristas laterales son o no perpendiculares a los planos de las bases.

Pirámide

Pirámide

piramides

Se le llama pirámide al poliedro que tiene una de sus caras con la forma de un polígono cualquiera, al que se le llama base, y las otras son triángulos que tienen un lado en común con la base, además de un punto común a todos los triángulos, que son las caras, llamado vértice de la pirámide. 

Pirámide Recta :
piramide recta
Toda pirámide cuya base sea un polígono regular, y tenga el vértice la recta perpendicular al plano de la base, trazada desde el centro de la misma se llama Pirámide Recta 

Pirámide regular:
 
Es la pirámide cuyas aristas son todas iguales.

División exacta y Entera


División exacta

 
1) Una municipalidad desea repartir 1000 libros
entre 17 institutos de su comuna de modo que reciban todos la misma cantidad. ¿Cuál es el máximo de libros que puede repartir a cada intituto?

2) Una empresa dispone de 20 empleados y los debe repartir en tres grupos con el mismo número de integrantes., ¿cuántos empleados quedarán
necesariamente afuera?

3) Diego está creciendo y debe tomar vitaminas que vienen envasadas en blisters de 30 unidades. La dosis es un comprimido con todos los almuerzos. ¿Cuántas semanas le dura cada blister?


Definición: división exacta

Sean a y b dos números naturales con b distinto de 0.  Si c es un número natural, tal  que   a = b.c , decimos que c es el cociente exacto de a entre b.
El número a se llama dividendo
El número b se llama divisor
El número c se llama cociente
Escribimos:
a : b = c
Observa que si a:b = c, entonces a = b.c
El cociente a:b=c se puede anotar con una línea horizonal, como una fracción.
O con el esquema:
En la división exacta el resto es 0
Ejemplo
Analiza las siguientes divisiones exactas
20 : 5 = 4  ya que   20 = 5 . 4
16 : 2  = 8 ya que   16 = 2 . 8
24/4 = 6 ya que 24 = 4.6


División entera

Sean a y   b  números   naturales con b distinto de 0.   Si c y r  son números naturales, con  r<b y tales que:   a=b.c+r, decimos que  c  es el cociente entero   de  a  entre b.
El número  a se llama dividendo
El número  b   se llama divisor
El número  c se llama cociente
El número  r se llama  resto o residuo


Ejemplos:
Entonces 36 = 8.4 + 4

Entonces 347 = 15.23 + 2

Propiedad Distributiva

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Respecto a la adición o suma


Problema:
Cada día de la semana Luis gasta $50 en l ocomoción y $125 en el almuerzo.  ¿Cuál es el gasto de una semana? Intenta resolverlo de dos maneras diferentes
Resolviendo el problema:
Primer método:
50 + 125 = 175
175.7= 1225
o sea que planteando una sola operación:
(50 + 125).7 = 1225
Segundo método:
50.7 = 350
125.7 = 875
350 + 875 = 1225

.Bien, consideremos las expresiones:    5.(4+3)         y         5.4+5.3
Observa que:
            5.(4+3)  =  5.7 =  35
             5.4+5.3=20+15=35
luego:  5.(4+3) = 5.4 + 5.3
           
O sea que al multiplicar un número por una suma se obtiene el mismo resultado si multiplicamos este número por cada uno de los sumandos y luego sumamos. Esta propiedad recibe el nombre de propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la adición.

Respecto a la resta o diferencia


Problema:
  1. Un barril contiene 230 litros de aceite.  Si el valor del litro de aceite es de  $27, ¿cuál es el valor del fertilizante contenido en dicho barril?
  2. Se venden 140 litros de aceite, ¿cuál es el valor del aceite vendido?
  3. Intenta calcular de dos maneras diferentes el precio del aceite que ha quedado en el barril luego de la venta.


Resolviendo el problema:

1) Simplemente haciendo 230 .27 = 6210
2) Operando 140.27 = 3780
3)
Primer método:
230 - 140 = 90
90.27= 2430
o sea que planteando una sola operación:
(230 - 140).27 = 2430
Segundo método:
230.27 = 6210
140.27 = 3780
6210 - 3780 = 2430

.Bien, consideremos las expresiones:       6.(8 - 3)   y       6.8 - 6.3
Observa que:         6.(8-3) = 6.5 = 30
                            6.8 - 6.3 = 48-18 = 30
luego:  6.(8-3) = 6.8 - 6.3
0 sea que al multiplicar un número por una diferencia se obtiene el mismo resultado que si multiplicamos este número por el minuendo y por el sustraendo y luego restamos. Esta propiedad recibe el nombre de propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la sustracción.



En general

Luego de ver que la propiedad distributiva se cumple tanto con respecto a la suma como a la resta podemos concluir:
                           
a.( b + c) = a.b + a.c
a.(b - c) = a.b - a.c

Como la multiplicación es conmutativa, o sea: el orden de los factores no altera el producto, podemos escribir:
a.(b + c)  = (b + c).a  = a.b + a.c
a.(b - c)  = (b - c).a  = a.b - a.c

Ejemplos y ejercicios

Ejemplo
Analiza las siguientes operaciones en las cuales se aplica la propiedad distributiva:

5.(8 + 4)  = 5.8 + 5.4  = 40 + 20 = 60
3.(7 - 2)  = 3.7 - 3.2  = 21 - 6 = 15

Ejercicio
 
Hallar el valor de x en la expresión  3. x = 6
Solución:
Descomponemos el número 6 en la forma 3.2  y luego simplificamos por 3:
 
3 . x = 6
3 . x = 3 . 2
x = 2

Ejercicio

Realiza las siguientes ope­raciones aplicando la propiedad distributiva:

a) 2.(3+5)
b) 4.(8+6)
c) (7+3).6
d) (9+21).14
e) 4.(5-2)
f) 8.(10-4)
g) (7-3).5
h) (16-12).31
i) 4.(8-3+5)
j) 2.(7-5+4-2)
k) (10-2+3).6
l) (11 + 16-4-6-7+29).15

Circuncentro de un triángulo

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El punto de intersección de las mediatrices de un triángulo  se llama circuncentro y es el centro de su  circunferencia circunscrita
Mediatrices_de_un_triángulo.png
Recordemos que los puntos de la mediatriz de un segmento equidistan de los extremos de este, o sea que están a la misma distancia. Si consideramos el punto de corte de dos de las mediatrices de los lados de un triángulo, la tercera debe pasar por el mismo punto ya que:

circun.jpg

Construcción de la mediatriz de un segmento


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Su trazado se realiza con regla y compás.
  • Se considera la circunferencia de centro A y un radio mayor a la mitad de la medida del
    segmento AB. En realidad se consideran arcos
     de esa circunferencia.
  • Se repite la construcción, pero ahora el centro será el punto B, se debe mantener la medida del radio.
  • Los puntos de intersección de ambas circunferencias determinan la mediatriz del segmento en cuestión.
Ejercicio:
 
En un triángulo cualquiera
  • Construye las mediatrices de los tres lados.
  • ¿Qué puedes decir acerca de su intersección?

Definición de mediatriz de un segmento



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La mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan ( están a igual distancia) de los extremos del segmento. Los puntos de la mediatriz están a igual distancia de los extremos del segmento.

Además cumple con la propiedad de ser  la recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio.

Mediatriz y circuncentro

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Problema:

En una oficina, según el esquema, debe ubicarse un teléfono a igual distancia de los escritorios de  Andrea y de  Beatriz.  ¿Dónde lo ubicarías?

a) ¿Cuántas soluciones al problema has encontrado?

Una nueva secretaria fue tomada en la oficina, Carla, a la que se le dio otro escritorio, pero Carla exigió que el teléfono también estuviera a igual distancia de ella.
 
b) ¿Será posible ubicar el teléfono a igual distancia de los tres escritorios?.

El problema se soluciona mediante la construcción de mediatrices y hallando sus puntos de intersección.  Cuando se pretende encontrar puntos que estén a la misma distancia de los escritorios de Andrea y Beatriz, las soluciones son los infinitos puntos de la mediatriz del segmento AB, que estén dentro de la oficina, en este caso. Si no hubiera limitaciones de espacio servirían todos sus puntos. 

Luego se considera la mediatriz del segmento AC y de segmento BC, se podrá comprobar que las tres mediatrices construidas se cortan en un punto , determinándose así el circuncentro del triángulo ABC, o sea el punto que equidista de los tres vértices de un triángulo.

Números

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Números enteros

Hace unos 3500 años atrás se ha comprobado que los babilonios fueron capaces de inventar un sistema de numeración que tenía al 10 como base.  Aproximadamente estos eran los símbolos que utilizaban:


El sistema de numeración de los antiguos romanos se puede encontrar en los años  500 A.C. y éste sigue usándose en algunos casos, por ejemplo en relojes, en capítulos de libros, entre otros. Sus símbolos son más que conocidos:


En los años cercanos al  200 A.C.  los hindúes fueron capaces de  idear un sistema de numeración también de  base 10 y recién  hace unos 1400 años le añadieron el cero.

En el siglo XV (otro uso que se le da a los números romanos) la numeración romana era reemplazada casi por completo por el sistema indoarábigo, estos son ya más similares a los que utilizamos comúnmente.

 Hoy la mayoría de los países utilizan una versión moderna del sistema numérico indoarábigo.



Ejercicios sobre números

Actividades para trabajar con números enteros:


Después de leer la información anterior puedes realizar las siguientes actividades:

Asocia a cada año un número positivo o negativo, según corresponda.

En la siguiente línea de tiempo ubica los hechos anteriores, eligiendo una escala apropiada.

Ordena de menor a mayor los números obtenidos.

¿Podrías ubicar cualquier número entero en la recta?.  Ubica los siguientes:   50, -50, 1500, -20, 150, -700


Ejercicios usando números enteros

Investiga la fecha de los siguientes hechos, asóciales un número y ubícalos en una línea de tiempo:

    Fundación de la ciudad de Roma, ¿ quiénes fueron sus fundadores?roma.gif

    Fundación de la ciudad de Montevideo,  ¿quíen la fundó?
    Nacimiento de Pitágoras, ¿ quién fue?mundial.jpg
    El primer mundial de fútbol, que lo ganó
    Tu nacimiento.


Contesta las siguientes preguntas:
    ¿Cúantos años tiene la ciudad de Roma?
    ¿Y Montevideo?
    ¿Cuántos años debería haber vivido Pitágoras para poder ver a Uruguay campeón del mundo?